MATEMATIKA (W)-INTEGRAL-PERTEMUAN 4

Volume Benda Putar – volume yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar dengan poros putar tertentu (sumbu x / sumbu y). Salah satu bentuk pengaplikasian integral selain menghitung luas di bawah kurva juga untuk menghitung volume pada benda putar. Contoh paling sederhana dari benda putar yaitu tabung. Volume sebuah tabung didapatkan dari luas alas berbentuk lingkaran yang dikalikan tinggi.

Volume Benda Putar

Jika alas tabung yang dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar itu adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar itu bisa dihitung dengan memakai rumus

Untuk mencari volume sebuah benda putar yang didapatkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y bisa memakai cara seperti penjelasan dibawah ini

Rumus Volume Benda Berputar

a. Volume Benda Putar Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva

perhatikan gambar di atas.

Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b mampu menghasilkan sebuah silinder tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x diatas bisa dicari memakai rumus

b. Volume Benda Putar Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva

Volume benda putar dengan sumbu putar yaitu sumbu y, harus mengubah persamaan grafik yang awalnya y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya yaitu x menjadi fungsi dari y.

y = f(x) menjadi x = f(y).

Contoh :
y = x2
x = √y

Setelah persamaan diubah, masukkan ke rumus:

Metode Menghitung Volume Benda Putar

Metode yang dipakai untuk menghitung volume benda putar memakai 2 integral yaitu :

1. Metode Cakram

Berdasarkan rumus Volume = Luas Alas . tinggi

Luas Alas selalu merupakan lingkaran maka Luas Alas = πr2 (r = jari jari putaran)

dipakai jika batang potongan tegak lurus dengan sumbu putar

2. Metode Cincin Silinder

Jika suatu luasan diputar pada sumbu tertentu, akan terbentuk suatu benda putar dengan volume sebesar luasan itu dikali dengan keliling putaran.

Dikarenakan keliling lingkaran adalah 2πr, jika luas bidang yang diputar = A, maka volume adalah 2πr × A

dipakai jika batang potongan sejajar dengan sumbu putar

CONTOH SOAL 1Volume benda putar jika daerah yang dibatasi kurva y = − x² + 4 dan y = − 2x + 4 diputar 360° mengelilingi sumbu Y adalah.....
A. 8 π satuan volume
B. 13/2 π satuan volume
C. 4 π satuan volume
D. 8/3 π satuan volume
E. 5/4 π satuan volume

Pembahasan
Langkah pertama yang biasa ditempuh adalah membuat sketsa grafik kurva-kurva yang terlibat agar nampak batas-batas yang akan diambil,

Kurva pertama bentuknya persamaan kuadrat,
y = −x² + 4

Cari titik potong pada sumbu x, berarti y diberi harga nol, y = 0
y = −x² + 4
0 = −x² + 4
0 = 4 −x²
Faktorkan,
0 = (x + 2)(x − 2)
x = − 2 atau x = 2

Titik-titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (2, 0) dan titik (−2, 0)

Titik potong pada sumbu y, berarti x diberi harga nol, x = 0
y = −x² + 4
y = −0² + 4
y = 4

Titik yang diperoleh dari langkah ini adalah (0, 4)


Kurva Kedua berbentuk persamaan linier
y = − 2x + 4

Titik potong sumbu x, berarti y = 0
y = − 2x + 4
0 = − 2x + 4
2x = 4
x = 4/2 = 2
Diperoleh titik (2, 0)

Titik potong sumbu y, berarti x = 0
y = − 2x + 4
y = − 2(0) + 4
y = 4
Diperoleh titik (0, 4)

Grafik selengkapnya sebagai berikut

CONTOH SOAL 2

Menentukan Batas-batas
Jika diputar pada sumbu x, terlihat dari gambar batas-batasnya adalah 0 dan 2
Jika diputar pada sumbu y, terlihat batas-batasnya adalah 0 dan 4

Kali ini akan dihitung untuk putar sumbu y, sehingga batas yang diambil 0 dan 4

Dari rumus volume benda putar pada sumbu y untuk dua buah kurva:

V = π _a∫^b ( [f₁(y)]² − [f₂(y)]² ) dy

atau

V = π _a∫^b ( [x₁]² − [x₂]² ) dy

→ Ubah bentuk "y =... " menjadi "x =..." atau "x² =..." ,

y = −x² + 4
x² = 4 − y

y = − 2x + 4
2x = 4 − y
x = 2 − 1/2 y
x² = 4 −2y + y²/4

sehingga

V = π _a∫^b ( [x₁]² − [x₂]² ) dy
V = π ₀∫⁴ ( [4 − y] − [4 −2y + y²/4] ) dy
V = π ₀∫⁴ ( 4 − y − 4 + 2y − y²/4 ) dy
V = π ₀∫⁴ (y − y²/4 ) dy
V = π [ 1/2 y² − y³/12]₀⁴
V = (1/2 . 16 − 64/12)π − (0) π = 8/3 π

UNTUK LEBIH PAHAM LIHAT VIDIO PEMBAHASAN VOLUME BENDA PUTAR BERIKUT

Simak Vidio Pembahasan Volume Benda Putar dengan Sumbu X

Simah Vidio Pembahasan Volume Benda Putar dengan Sumbu Y

KERJAKAN SOAL BERIKUT DENGAN MENGKLIK XII IPA YES

Share this post